卡尔曼滤波原理详解
什么是卡尔曼滤波？
卡尔曼滤波（Kalman Filter）是一种递归的、最优的状态估计算法。它能够从包含噪声的测量数据中，估计出动态系统的真实状态。1960 年由 Rudolf E. Kálmán 提出，广泛应用于导航、自动驾驶、目标跟踪、信号处理等领域。
核心思想：预测 + 更新
卡尔曼滤波的核心是一个两步循环：
第一步：预测（Predict）
根据系统模型，预测下一时刻的状态：
x^k∣k−1Pk∣k−1=Fk⋅x^k−1∣k−1=Fk⋅Pk−1∣k−1⋅FkT+Qk
- x^k∣k−1：预测的状态估计
- Pk∣k−1：预测的误差协方差
- Fk：状态转移矩阵（描述系统如何演化）
- Qk：过程噪声协方差（描述模型的不确定性）
第二步：更新（Update）
用实际测量值修正预测：
Kkx^k∣kPk∣k=Pk∣k−1HkT(HkPk∣k−1HkT+Rk)−1=x^k∣k−1+Kk(zk−Hkx^k∣k−1)=(I−KkHk)Pk∣k−1
- Kk：卡尔曼增益（决定”信任”预测还是测量）
- zk：实际测量值
- Hk：观测矩阵（将状态映射到测量空间）
- Rk：测量噪声协方差（描述传感器的不可靠性）
关键参数解读
| 参数 | 符号 | 含义 | 调大效果 |
|---|
| 过程噪声协方差 | Q | 模型不确定性 | 更信任测量值，响应更快但更抖动 |
| 测量噪声协方差 | R | 传感器噪声 | 更信任模型预测，估计更平滑但响应慢 |
| 初始状态估计 | x̂₀ | 滤波器初始猜测 | 影响收敛速度 |
| 初始误差协方差 | P₀ | 初始不确定度 | 越大收敛越快，但初始阶段波动大 |
卡尔曼增益的作用
卡尔曼增益 Kk 是滤波器的”信噪比”。当 Kk→1 时，滤波器几乎完全信任测量值；当 Kk→0 时，滤波器几乎完全信任模型预测。
增益的计算公式体现了预测不确定性与测量不确定性之间的权衡：
Kk=Pk∣k−1+RkPk∣k−1(当 Hk=1 时)
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