旋转的表示：复数、矩阵与四元数

在实际工程中，旋转的表示方式直接影响代码的可读性、计算效率和数值稳定性。本文从工程实践角度，梳理三种常用旋转表示方法及其适用场景。

复数：二维旋转的优雅表达

由欧拉公式 $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$，任意复数 $z = x + yi$ 乘以 $e^{i\theta}$ 相当于在复平面上旋转 $\theta$ 弧度：

$z \cdot e^{i\theta} = (x + yi)(\cos\theta + i\sin\theta) = (x\cos\theta - y\sin\theta) + (x\sin\theta + y\cos\theta)i$

这与旋转矩阵等价，但表达更简洁。在 Python 中：

import numpy as np

def rotate_2d_complex(points, theta):
    """用复数旋转二维点集"""
    z = points[:, 0] + 1j * points[:, 1]
    rotated = z * np.exp(1j * theta)
    return np.column_stack([rotated.real, rotated.imag])

旋转矩阵：最通用的选择

旋转矩阵是 $n \times n$ 正交矩阵，适用于任意维度，且天然支持矩阵链式组合：

def rot_matrix_2d(theta):
    c, s = np.cos(theta), np.sin(theta)
    return np.array([[c, -s], [s, c]])

# 组合旋转：先转 30° 再转 45°
R = rot_matrix_2d(np.deg2rad(45)) @ rot_matrix_2d(np.deg2rad(30))

优点是可以直接嵌入齐次变换矩阵，适合与平移、缩放统一处理。缺点是在三维中需要 9 个数存一个旋转，且插值困难。

轴角与四元数：三维旋转的首选

轴角表示用单位向量 $\mathbf{u}$ 和角度 $\theta$ 描述旋转，共 4 个参数。四元数 $q = \cos(\theta/2) + \sin(\theta/2)(u_x i + u_y j + u_z k)$ 是其代数化表达：

from scipy.spatial.transform import Rotation as R

# 绕 z 轴转 90°
r = R.from_rotvec([0, 0, np.pi / 2])
quat = r.as_quat()  # 四元数 [x, y, z, w]

# 旋转向量
v = np.array([1, 0, 0])
v_rotated = r.apply(v)  # → [0, 1, 0]

四元数的主要优势：仅 4 个数、无万向节锁、球面线性插值（Slerp）自然平滑，是游戏引擎和机器人领域的主流选择。

如何选择

场景	推荐表示
二维旋转	复数或 $2 \times 2$ 矩阵
三维刚体变换（含平移）	$4 \times 4$ 齐次矩阵
三维纯旋转 / 插值	四元数
需要直观调参	欧拉角（仅作输入输出，内部转为四元数）

理解每种表示背后的数学本质，能在实际编码中做出更合适的选择。